2025女丘

1. 设

\[f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x^2-x+1} \]

对于所有正整数 \(n\)，求 \(f^{(n)}(x)\)。

2. 设 \(A,B\) 是实对称矩阵，证明：\(tr(ABAB)\le tr(A^2B^2)\)，并求出等号成立的充分必要条件。

3. 设 \(a,z,w\) 为复数，其中 \(|a|\le 1\)，\(1+az+\bar{a}w+zw=0\)，求证：\(|z|\le 1\) 或 \(|w|\le 1\)。

4. 设有 \(3\) 阶复矩阵 \(A\)，满足 \(tr(A)=3\)，\(tr(A^2)=5\)，\(tr(A^3)=9\)，求证：\(A\) 相似于对角阵。

5. 设 \(G=SL_2(\mathbb{R})=\left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\mid ad-bc=1\right\}\)，\(K=SO_2(\mathbb{R})=\left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in G\mid \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=I_2\right\}\)，\(\mathcal{H}=\{z=x+yi\in\mathbb{C}\mid y>0 \}\)。定义映射：

\[G\times \mathcal{H} \to \mathcal{H} \]

\[(g,z)=\left (\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix},z\right )\mapsto g\cdot z=\frac{az+b}{cz+d} \]

（a）\(\forall g\in G,z\in \mathcal{H}\)，证明 \(g\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}\in \mathcal{H}\)。
（b）证明这是一个群作用。
（c）证明 \(G\) 在 \(\mathcal{H}\) 上的作用是传递的，即 \(\mathcal{H}\) 中所有元素都在群作用 \(G\) 的同一轨道上（应该是这么说的吧？）
（d）证明 \(G/K\) 到 \(\mathcal{H}\) 存在双射。

6. 定义 \(S^n=\{(x_0,x_1,\dots,x_n)\mid \sum_{i=0}^n x_i^2=1\}\) 为 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 中的 \(n\) 维球面，记 \(a_n\) 为在 \(S^n\) 中随机生成两点之间的平均距离。
   （a）求 \(a_1,a_2\)。
   （b）\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n\) 是否存在？存在则求之，不存在则证明。