前缀和

一维前缀和

具体做法：

首先做一个预处理，定义一个sum[]数组，sum[i]代表a数组中前i个数的和。

原理：

sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l+1] ...... a[r];
sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l - 1];
sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1]+......+ a[r];

图解

求前缀和运算：

const int N = 1e5+10;
int sum[N], a[N]; //sum[i] = a[1] + a[2] + a[3] ..... a[i];
for(int i = 1; i <= n;i++)
{ 
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];   
}

总结

一维前缀和模板题

二维前缀和

推导

如图

紫色面积是指(1,1)左上角到(i,j-1)右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1,1)左上角到(i-1, j )右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。
从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i-1][j] + 紫色面积s[i][j-1] - 重复加的红色的面积s[i-1][j-1] + 小方块的面积a[i][j];

因此得出二维前缀和预处理公式
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] + a[i][j] - s[i-1][j-1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。
如图

紫色面积是指 ( 1,1 )左上角到(x1-1,y2)右下角的矩形面积 ，黄色面积是指(1,1)左上角到(x2,y1-1)右下角的矩形面积；
不难推出：

绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]

总结

二维前缀和模板题